Геннадий Фёдорович, я думаю, что площадь сферы проще всего рассчитать, если вокруг неё описать многогранник. Понятно, что его объём: V=1/3*S*R. Если число граней многогранника бесконечно велико, то и его объём и площадь поверхности это объём шара и площадь сферы. Приравнивая формулы, получаем площадь сферы.
Я тоже ученица крутой школы, только в Москве.
Женя и Anton, а вы ученики Г. Ф.? Или просто посетители? Я много слышала о Г. Ф.. Это почти легенды. Может и Вы чего расскажете, а?

Ну отчего же закрытым. Советы на будущее можно давать всегда; важно только при этом показать реальную пользу от своих советов.
Например там, „Я учил в школе хорошо математику, поступил в Гарвард, и в 27 лет получил Премию Филдса“

Да, наверное, Антон вернее сказал.

На этом симпозиум по советам на будущее можно считать закрытым

„Крутая киевская школа“. ммм... 145? Лидер?

Для меня школа была все-таки немного иной, больше всякие олимпиады интересовали. Да и все, что было после нее, не могу назвать особо серым. Скорее просто насыщенности не хватает

А вот терзать т.н. профессора по вкусу — не самая лучшая идея. Хороший руководитель нужен обязательно, но работа вся должна быть твоей. Иначе толку будет немного. Сам знаю пару таких профессоров-научных руководителей, которые от своих подопечных шарахаются, — успешности там никакой нет.
И всяко лучше продолжить обучение после школы в каком-нибудь приличном европейском вузе.

Ну или чуть корректнее:

Возьмем некоторую точку А на заданной поверхности. Из нее восстановим перпендикуляр — ось Ох (О — точка где-нибудь внутри). Будем линейно увеличивать/уменьшать поверхность. При малом изменении dx можно считать, что тело изменилось линейно везде на dx. Ну и т.д.

А выпускной был какой сказочный… Я поэму читал (тут только я понял, что у ГФ хорошие, легко запоминающиеся стихи), ребята ставили пьесу (угадайте чью?;), были всякие рыцарские соревнования и потом мы поехали встречать рассвет в Ялту на набережную. И еще полдня бродили по Никитскому Ботаническому. И опять угадайте, кто не давал всем заснуть.

Yana, будьте умнее меня (говорю вам с высоты 5 лет :DDD), сразу найдите себе профессора по вкусу и 5 лет его нещадно терзайте, чтоб вы не от него бегали, а за ним, а он — от вас :-)

Какой Женя про это говорил? Я что ли?

Всё что было в 10—11 классах давно уже кажется сказкой или сном, после которого опять началась обычная серая жизнь.

Пусть некоторое тело будет «раздуто» на dx по всей поверхности (dx нормально поверхности), тогда, поскольку dx бесконечно мала, полученную поверхность можно считать подобной исходной. Приращение объема — dV. Возьмем маленький прямоугольный участок дельта S. Ему соответствует чуть больший участок «напротив» — дельта S'. Вместе с ребрами dx по углам получается призма, объем которой равен дельта S'dx:

дельта dV = дельта S' dx

Так как из всех этих маленьких кусочков можно собрать всё приращение объема, то

dV = S' dx => S'=dV/dx

т.е. увеличенная площадь равна производной объёма фигуры по линейному приращению. Что-то вроде этого.

Я учусь в одиннадцатом классе крутой киевской школы.
Я знаю о Вас по рассказам ваших выпускников. Сначала не придавала значения, потом стала прислушиваться. В прошлом году узнала о вашем успехе в конкурсу "Учитель года". Потом - увидела статью в газете, уже не помню какой. Потом узнала и о вашем сайте. Вы напрасно думаете, что о вас никто не знает. Я о вас знаю давно, хотя вряд ли те кто говорил о вас вряд ли замечал маленькую девочку, которая играла в куклы неподалёку.

Anton.
Вы и Женя были одними из самых думающих учеников. То, что предлагает посетитель конечно не есть новость или открытие. Это факт того, что человек думает, разбирается и гладко обосновывает. Согласитесь это выделяет этого человека из общей группы учащихся школ.
Но всё таки неужели площадь сферы не знали до дифференциального и интегрального исчисления?
А. А. я думаю Вы не правы. Просто это всё можно сказать иначе, а сама идея намечает достаточно строгий математический вывод.

Если мне не изменяет память, то Женя еще в 11 классе именно об этом говорил. Про то, что площадь поверхности любого тела есть предел приращения его объема. Главное правильно разобраться, где какое приращение. Для шара/сферы это весьма тривиально, и предложенный метод вполне хороший.

Мне кажется это решение не достаточно строгим с математической точки зрения.

Yana!
Простите за нескромность, но Вы учитесь, работаете? Мне очень импонирует Ваш ответ на вопрос. Я конечно рассчитывал на какое-то решение в стиле геометрических рассуждений. Возможно кто-нибудь ещё предложит. Вам - огромное спасибо. Интересно, что скажут наши посетители?
Женя и Антон, как Вы оцениваете подобные решения?

Пусть с - приращение, тогда V(R+c) = 4/3*Pi(R^3+3*R^2*c+3*R*c^2+c^3), но последние два слагаемых в скобке имеют больший порядок малости по сравнению со вторым (первый уйдёт в производной), а значит и получается, слагаемое R^2*c, то есть объём тонкого слоя с необходимой степенью малости можно рассматривать как объём тонкого параллелепипеда. Конечно для бесконечно малых величин.

Yana!
Классно! Надо обосновать!!!

Площадь сферы - производная от объёма!